Ανάλυση πολλαπλών κλιμάκων για οικονομικές χρονικές σειρές

Από τον Tim Leung, Ph.D.

Οι παρατηρήσεις της αγοράς και οι εμπειρικές μελέτες έχουν δείξει ότι οι τιμές των περιουσιακών στοιχείων συχνά καθορίζονται από παράγοντες πολλαπλής κλίμακας, που κυμαίνονται από μακροπρόθεσμους οικονομικούς κύκλους έως γρήγορες διακυμάνσεις βραχυπρόθεσμα. Αυτό υποδηλώνει ότι οι οικονομικές χρονοσειρές είναι δυνητικά ενσωματωμένες σε διαφορετικά χρονοδιαγράμματα.

Από την άλλη πλευρά, οι μη στάσιμες και συμπεριφορές και οι μη γραμμικές δυναμικές παρατηρούνται συχνά στις οικονομικές χρονοσειρές. Αυτά τα χαρακτηριστικά δύσκολα μπορούν να αποτυπωθούν από γραμμικά μοντέλα και απαιτούν μια προσαρμοστική και μη γραμμική προσέγγιση για ανάλυση. Για δεκαετίες, μέθοδοι που βασίζονται σε βραχυχρόνιο μετασχηματισμό Fourier έχουν αναπτυχθεί και εφαρμοστεί σε μη στάσιμες χρονοσειρές, αλλά εξακολουθούν να υπάρχουν προκλήσεις στην αποτύπωση της μη γραμμικής δυναμικής και οι συχνά προδιαγεγραμμένες υποθέσεις κάνουν τις μεθόδους να μην είναι πλήρως προσαρμοστικές. Αυτό δημιουργεί την ανάγκη για μια προσαρμοστική και μη γραμμική προσέγγιση ανάλυσης.

Μετασχηματισμός Hilbert-Huang (HHT)

Μια εναλλακτική προσέγγιση στην ανάλυση προσαρμοστικών χρονοσειρών είναι ο μετασχηματισμός Hilbert-Huang (HHT). Η μέθοδος HHT μπορεί να αποσυνθέσει οποιεσδήποτε χρονοσειρές σε ταλαντούμενα στοιχεία με μη στάσιμα πλάτη και συχνότητες χρησιμοποιώντας εμπειρική αποσύνθεση τρόπου λειτουργίας (EMD). Αυτή η πλήρως προσαρμοστική μέθοδος παρέχει μια πολλαπλή αποσύνθεση για τις αρχικές χρονοσειρές, η οποία δίνει πλουσιότερες πληροφορίες για τις χρονοσειρές. Η στιγμιαία συχνότητα και το στιγμιαίο πλάτος κάθε συστατικού εξάγονται αργότερα χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Hilbert. Η αποσύνθεση σε διαφορετικές χρονικές κλίμακες επίσης και επιτρέπει την ανακατασκευή σε διαφορετικές αναλύσεις, παρέχοντας ένα εργαλείο εξομάλυνσης και φιλτραρίσματος που είναι ιδανικό για θορυβώδεις οικονομικές χρονοσειρές.

Το EMD είναι το πρώτο βήμα της διαδικασίας πολλών σταδίων. Για κάθε δεδομένη χρονική σειρά x

Για να διασφαλιστεί ότι κάθε ντοⱼ

Χωρίς τοπική ταλάντωση: ο αριθμός των ακραίων και ο αριθμός των μηδενικών διασταυρώσεων πρέπει να είναι ίσοι ή το πολύ να διαφέρουν κατά ένα.

Συμμετρικό: τα μέγιστα της συνάρτησης που ορίζονται από τον επάνω φάκελο και τα ελάχιστα που ορίζονται από τον κάτω φάκελο πρέπει να αθροίζονται στο μηδέν ανά πάσα στιγμή t ∈ [0,T].

Επιπλέον, εφαρμόζουμε τη μέθοδο της συμπληρωματικής εμπειρικής αποσύνθεσης συνόλου (CEEMD) σε μη στάσιμες οικονομικές χρονοσειρές. Αυτή η υποβοηθούμενη από θόρυβο προσέγγιση αποσυνθέτει οποιεσδήποτε χρονοσειρές σε μια σειρά από εγγενείς λειτουργίες λειτουργίας, μαζί με τα αντίστοιχα στιγμιαία πλάτη και στιγμιαίες συχνότητες.

Παρακάτω παρουσιάζουμε τις εγγενείς συναρτήσεις λειτουργίας (IMF) και τους υπολειπόμενους όρους από την αποσύνθεση για τους S&P500 και VIX.

Συναρτήσεις ενδογενούς λειτουργίας (IMF) και υπολειπόμενοι όροι που εξάγονται από την αποσύνθεση εμπειρικού τρόπου λειτουργίας συμπληρωματικού συνόλου του S&P 500 (log-price) από την 1η Απριλίου 2010 έως τις 31 Μαρτίου 2020. Η επάνω σειρά δείχνει την αρχική χρονοσειρά. Η δεύτερη έως την τελευταία σειρά δείχνει τους τρόπους λειτουργίας IMF της αντίστοιχης χρονοσειράς. Η κάτω σειρά κάθε γραφήματος δείχνει τον υπολειπόμενο όρο της χρονοσειράς. Πηγή: Leung and Zhao (2021) διαθέσιμη στη διεύθυνση https://arxiv.org/abs/2105.10871

Εγγενείς συναρτήσεις λειτουργίας (IMF) και υπολειπόμενοι όροι που εξάγονται από την αποσύνθεση συμπληρωματικών εμπειρικών τρόπων λειτουργίας του δείκτη μεταβλητότητας (VIX) από την 1η Απριλίου 2010 έως τις 31 Μαρτίου 2020. Η επάνω σειρά δείχνει την αρχική χρονοσειρά. Η δεύτερη έως την τελευταία σειρά δείχνει τους τρόπους λειτουργίας IMF της αντίστοιχης χρονοσειράς. Η κάτω σειρά κάθε γραφήματος δείχνει τον υπολειπόμενο όρο της χρονοσειράς. Πηγή: Leung and Zhao (2021) διαθέσιμη στη διεύθυνση https://arxiv.org/abs/2105.10871

Οι λειτουργίες αντιστοιχούν σε διαφορετικές συχνότητες, από γρήγορες διακυμάνσεις έως μακροπρόθεσμες τάσεις. Η αποσύνθεση μας επιτρέπει i) να εξομαλύνουμε/φιλτράρουμε οποιαδήποτε χρονική σειρά εξαιρουμένων ορισμένων συνιστωσών υψηλότερης συχνότητας και ii) να ανασυνθέσουμε οποιαδήποτε χρονική σειρά χρησιμοποιώντας ένα υποσύνολο συστατικών.

Ανακατασκευή χρονοσειρών με χρήση διαφορετικών συνόλων στοιχείων. Πάνω: S&P 500. Κάτω: VIX. Πηγή: Leung and Zhao (2021) διαθέσιμη στη διεύθυνση https://arxiv.org/abs/2105.10871

Φάσμα Ενεργειακής Συχνότητας

Σημειώστε ότι κάθε λειτουργία (IMF) αντιστοιχεί επίσης σε διαφορετική συχνότητα διακυμάνσεων. Η παραπάνω αποσύνθεση μας επιτρέπει να συγκρίνουμε οποιεσδήποτε δύο χρονοσειρές με βάση τρόπο προς λειτουργία (συχνότητα-από-συχνότητα).

Μια ταλαντούμενη συνάρτηση πραγματικής τιμής μπορεί να θεωρηθεί ως η προβολή μιας τροχιάς στο μιγαδικό επίπεδο στον πραγματικό άξονα. Για οποιαδήποτε συνάρτηση στο χρόνο X

οπότε το Y

που

Στη συνέχεια, η στιγμιαία συχνότητα ορίζεται ως ο 2𝜋 -τυποποιημένος ρυθμός αλλαγής της συνάρτησης φάσης, δηλαδή,

Η εφαρμογή του μετασχηματισμού Hilbert σε καθένα από τα στοιχεία του IMF ξεχωριστά αποδίδει μια ακολουθία αναλυτικών σημάτων

Με τη σειρά της, η αρχική χρονοσειρά μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια αραιή φασματική αναπαράσταση της χρονοσειράς με χρονικά μεταβαλλόμενο πλάτος και συχνότητα:

Επιπλέον, η στιγμιαία ενέργεια της jης συνιστώσας ορίζεται ως

Ως εκ τούτου, για κάθε χρονοσειρά, λαμβάνουμε ένα διάγραμμα για το φάσμα ενέργειας-συχνότητας.

S&P500: στιγμιαία ενέργεια E

Για το VIX, η στιγμιαία ενέργεια E

Τα S&P500 και VIX μοιράζονται παρόμοιες στιγμιαίες συχνότητες αλλά σημαντικά διαφορετικές στιγμιαίες ενέργειες.

S&P 500 vs VIX: οι στιγμιαίες συχνότητες λειτουργίας προς λειτουργία είναι πολύ παρόμοιες, που σημαίνει ότι και οι δύο οδηγούνται από παρόμοιες συχνότητες διακύμανσης, αν και σημαντικά διαφορετικά μεγέθη. Πηγή: Leung and Zhao (2021) διαθέσιμη στη διεύθυνση https://arxiv.org/abs/2105.10871

Συνοπτικά, τα βασικά αποτελέσματα αυτής της μεθόδου είναι η σειρά των ΔΝΤ, μαζί με τα στιγμιαία πλάτη και τις στιγμιαίες συχνότητες που μεταβάλλονται χρονικά. Διαφορετικοί συνδυασμοί τρόπων λειτουργίας μας επιτρέπουν να ανακατασκευάσουμε τις χρονοσειρές χρησιμοποιώντας στοιχεία διαφορετικών χρονικών κλιμάκων. Χρησιμοποιώντας τη φασματική ανάλυση Hilbert, υπολογίζουμε το σχετικό στιγμιαίο φάσμα ενεργειακής συχνότητας για να απεικονίσουμε τις ιδιότητες διαφόρων χρονικών κλιμάκων που είναι ενσωματωμένες στην αρχική χρονοσειρά.

Η επεξεργασία σήματος πολλαπλής κλίμακας είναι επίσης πολύ κατάλληλη για την ανάλυση τιμών κρυπτονομισμάτων (δείτε αυτό χαρτί). Για πρόσθετα παραδείγματα, όπως χρυσός (GLD) και Treasuries, μαζί με εφαρμογές μηχανικής εκμάθησης, παραπέμπουμε τον αναγνώστη στο πλήρες χαρτί.

βιβλιογραφικές αναφορές

Leung and Zhao (2021), Ανάλυση και Πρόβλεψη Χρηματοοικονομικών Σειρών με Δημιουργία Χαρακτηριστικών HHT και Μηχανική Μάθηση [pdf], Εφαρμοσμένα Στοχαστικά Μοντέλα σε Επιχειρήσεις και Βιομηχανία

Leung and Zhao (2021), Adaptive Complementary Ensemble EMD and Energy-Frequency Spectra of Cryptocurrency Prices [pdf]

Αποποίηση ευθυνών

Αυτό το άρθρο αντιπροσωπεύει τις απόψεις και την άποψη του/των συγγραφέα/ών και όχι, κατ’ ανάγκη, του Rotella/Qdeck. Το περιεχόμενο αυτού του άρθρου παρέχεται αποκλειστικά για ενημερωτικούς σκοπούς και για γενική εκπαίδευση και σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να θεωρείται επενδυτική συμβουλή.

Αυτή η επικοινωνία παρέχεται για ενημερωτικούς σκοπούς και δεν πρέπει να ερμηνεύεται ως σύσταση ή πρόσκληση ή προσφορά αγοράς ή πώλησης συμβολαίων μελλοντικής εκπλήρωσης, τίτλων ή συναφών χρηματοοικονομικών μέσων, ούτε ως επίσημη επιβεβαίωση απόδοσης. Οι προηγούμενες επιδόσεις δεν είναι απαραίτητα ενδεικτικές των μελλοντικών αποτελεσμάτων. Η επένδυση σε οποιοδήποτε πρόγραμμα είναι κερδοσκοπική και εμπεριέχει σημαντικούς κινδύνους, συμπεριλαμβανομένων των κινδύνων απώλειας. Δεν υπάρχει καμία διαβεβαίωση ότι τα προγράμματα θα είναι σε θέση να πραγματοποιήσουν τους στόχους τους.