Του Tim Leung, Ph.D.
Στην αγορά των ΗΠΑ, οι θεσμικοί επενδυτές κατέχουν ή διαχειρίζονται σημαντικό μέρος των μετοχών του δημοσίου. Για πολλούς θεσμικούς επενδυτές, οι εντολές για αγορά ή πώληση μετοχών μπορεί να είναι πολύ μεγάλες. Τέτοιες εντολές πιστεύεται ότι είναι δυνητικά δαπανηρές στην εφαρμογή τους, καθώς δημιουργούν ουσιαστική άμεση ζήτηση/προσφορά και πιθανές δυσμενείς επιπτώσεις στην τιμή.
Μια μεγάλη εντολή αγοράς/πώλησης μπορεί να προκαλέσει άλλους εμπόρους να αυξήσουν/χαμηλώσουν την προσφερόμενη τιμή τους επειδή αντιλαμβάνονται μια αλλαγή στην αξία από τις αντίθετες εντολές του θεσμικού επενδυτή. Αυτό το πρόσθετο κόστος υλοποίησης λόγω της βραχυπρόθεσμης ζήτησης ρευστότητας ονομάζεται συχνά αντίκτυπο στην αγορά.
Οι επαγγελματίες συνήθως το θεωρούν ως σημαντικό κόστος παρακολούθησης, αποφυγής ή ελαχιστοποίησης. Αυτό μπορεί να γίνει με αργή διαπραγμάτευση του περιουσιακού στοιχείου, το οποίο συνήθως μειώνει τον αντίκτυπο στην αγορά επηρεάζοντας ελάχιστα τη ζήτηση/προσφορά με την πάροδο του χρόνου. Ωστόσο, αυτή η στρατηγική εκθέτει τον έμπορο της αντιπροσωπείας στον κίνδυνο από την κίνηση των τιμών των μετοχών καθώς και στην αποτυχία να ολοκληρώσει την αγορά/πώληση όλων των επιθυμητών μονάδων μετοχών. Ως εκ τούτου, είναι ο στόχος πολλών αλγοριθμικών εμπόρων να αποφασίσουν πώς να ανταλλάξουν στρατηγικά το κόστος και τον κίνδυνο για ένα θεσμικό εμπόριο.
Πρόβλημα βέλτιστης εκτέλεσης συναλλαγών
Στο δικό μας χαρτί, αναλύουμε ένα στοχαστικό μοντέλο συνεχούς χρόνου για βέλτιστη εκτέλεση χρησιμοποιώντας τόσο αγοραίες όσο και οριακές εντολές. Το άρθρο μας επεκτείνει το θεμελιώδες μοντέλο επιπτώσεων στην αγορά των Almgren & Chriss (2000) συμπεριλαμβάνοντας οριακές εντολές με αβέβαια ποσοστά πλήρωσης και έναν περιοριστή ταχύτητας που τιμωρεί τα υπερβολικά μεγάλα επιτόκια συναλλαγών. Σε αντίθεση με τους Almgren & Chriss (2000), το μοντέλο μας έχει δύο τύπους παραγγελιών, οι οποίοι ενδέχεται να έχουν αρνητικά πρόσημα (δηλ. υποβολή εντολών πώλησης σε πρόγραμμα αγοράς ή το αντίστροφο).
Επιπλέον, κατασκευάζουμε ποινές που οδηγούν τα βέλτιστα επιτόκια συναλλαγών προς την επιθυμητή κατεύθυνση πλήρους ρευστοποίησης. Συγκεκριμένα, περιλαμβάνουμε μια ποινή τερματισμού μη ρευστοποίησης καθώς και μια ποινή, που ονομάζεται trader Director, για να ωθήσει τις τιμές συναλλαγών για τις εντολές αγοράς και τις οριακές εντολές να είναι προς την ίδια κατεύθυνση. Σε συνδυασμό, αυτές οι τρεις ποινές (ποινή μη εκκαθάρισης, εμπορικός διευθυντής και περιοριστής ταχύτητας) αναγκάζουν τον αλγόριθμο να διαπραγματεύεται σε πλήρη ρευστοποίηση, ενώ ταυτόχρονα προσαρμόζει το πρόσημο και το μέγεθος των ισοτιμιών συναλλαγών. Τέλος, το μοντέλο μας είναι σε θέση να δημιουργήσει βέλτιστες στρατηγικές που ακολουθούν πολύ στενά κάθε δεδομένο χρονοδιάγραμμα συναλλαγών αναφοράς, ελαχιστοποιώντας ταυτόχρονα το κόστος συναλλαγών.
Στόχος μας είναι να διερευνήσουμε πώς να κατανέμουμε βέλτιστα τις επιθετικές (αγορά) και τις παθητικές (οριακές) εντολές με την πάροδο του χρόνου για την επίτευξη των στόχων συναλλαγών. Ο επιθετικός χαρακτήρας των εντολών αγοράς τείνει να έχει υψηλότερο αντίκτυπο στην αγορά, ενώ οι οριακές εντολές έχουν μικρότερο αντίκτυπο στην αγορά, αλλά είναι λιγότερο πιθανό να εκπληρωθούν. Μοντελοποιούμε αυτήν την αβεβαιότητα πλήρωσης χρησιμοποιώντας μια συνάρτηση affine του επιτοκίου συναλλαγών σε οριακές εντολές. Αυτό οδηγεί σε έναν επιπλέον όρο διάχυσης που συσχετίζεται με τη διαδικασία της τιμής της μετοχής. Το βέλτιστο πρόβλημα ρευστοποίησης στη συνέχεια παρουσιάζεται ως α στοχαστικό πρόβλημα βέλτιστου ελέγχουτου οποίου η μη γραμμική εξίσωση Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) μπορεί να απλοποιηθεί σε ένα σύστημα γραμμικών συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων (ODEs).
Στη συνέχεια διερευνούμε τις ειδικές περιπτώσεις σταθερής και γραμμικής αβεβαιότητας για να εξετάσουμε τις ιδιότητες των λύσεων και να αναλύσουμε τις αντίστοιχες ρητές βέλτιστες στρατηγικές. Μεταξύ των αποτελεσμάτων μας, χαρακτηρίζουμε το trader όριο αγοράς-πώλησηςη οποία είναι μια χρονική ντετερμινιστική συνάρτηση που διέπει πότε οι τύποι παραγγελίας είναι μη αρνητικοί.
Εξετάζουμε επίσης ένα εναλλακτικό μοντέλο για την ενσωμάτωση ενός σημείου αναφοράς πρόγραμμα συναλλαγών και να δείξουμε ότι το μοντέλο μας είναι ικανό να δημιουργήσει βέλτιστες στρατηγικές που ακολουθούν πολύ στενά κάθε δεδομένο χρονοδιάγραμμα, ελαχιστοποιώντας ταυτόχρονα το κόστος συναλλαγών. Αυτό μας επιτρέπει να κατανοήσουμε μια αντιστάθμιση μεταξύ της παρακολούθησης του χρονοδιαγράμματος και της αναζήτησης κερδών, και έτσι, να αξιολογήσουμε πόσο κερδοφόρο μπορεί να είναι η απόκλιση από το χρονοδιάγραμμα. Σε όλη την εργασία, παρέχουμε αριθμητικά αποτελέσματα για να απεικονίσουμε τις βέλτιστες στρατηγικές ρευστοποίησης σε διάφορες ρυθμίσεις.
Ανάμεσα στα ευρήματά μας, εξάγουμε ρητά τις τιμές συναλλαγών και εξετάζουμε περαιτέρω τις συνθήκες υπό τις οποίες είναι μη αρνητικές στον ορίζοντα συναλλαγών. Επιπλέον, εισάγουμε επίσης το κρίσιμο χρονικό διάστημα για ένα πρόγραμμα τοποθέτησης παραγγελιών. Εάν ο ορίζοντας διαπραγμάτευσης υπερβεί αυτόν τον κρίσιμο χρόνο, ο έμπορος έχει πάρα πολύ χρόνο για να εξερευνήσει κερδοφόρες ευκαιρίες στις συναλλαγές της μετοχής. Αυτό οδηγεί σε έναν ενδιαφέροντα και διαισθητικό συμβιβασμό: η ποινή της μη ρευστοποίησης πρέπει να αυξηθεί προκειμένου να αποτραπεί ο έμπορος να χρησιμοποιήσει χρόνο για να εξερευνήσει απεριόριστο κέρδος, με αποτέλεσμα την υπεραγορά.
Στην τελευταία ενότητα αυτού του άρθρου, παρέχουμε αριθμητικά αποτελέσματα για να παρουσιάσουμε τις βέλτιστες στρατηγικές ρευστοποίησης σε διάφορες ρυθμίσεις.
Στοχαστικό μοντέλο & χαρακτηριστικά
Σε όλη τη διάρκεια, υιοθετούμε την προοπτική του α Πουλώ πρόγραμμα. Τα μαθηματικά για ένα πρόγραμμα αγοράς είναι εντελώς ανάλογα. Οι συναλλαγές γίνονται σε έναν πεπερασμένο ορίζοντα συναλλαγών [0,T]. Ο έμπορος επιλέγει δύο στοχαστικούς ελέγχους: (i) την τιμή διαπραγμάτευσης των εντολών αγοράς, v
Οι μετοχές του εμπόρου, που υποδηλώνονται με x
Εκτός από την ενσωμάτωση μόνιμου και προσωρινού αντίκτυπου των συναλλαγών στις τιμές, το μοντέλο μας αντιμετωπίζει επίσης μια αρνητική επίδραση επιλογής που συχνά λαμβάνεται υπόψη στα αλγοριθμικά μοντέλα συναλλαγών. Η αρνητική επιλογή είναι ένα έμμεσο κόστος που προκύπτει όταν, για παράδειγμα, η τιμή της μετοχής αυξάνεται αμέσως μετά την πραγματοποίηση μιας πώλησης. Θα ήταν καλύτερο για τον έμπορο να περιμένει την άνοδο της τιμής πριν πουλήσει τη μετοχή, γιατί τότε θα είχε ένα επιπλέον κέρδος. Προκειμένου το μοντέλο να ενσωματώνει μια αρνητική επίδραση επιλογής, θέλουμε ο έμπορος να κάνει μια πλεονάζουσα πώληση σε οριακές εντολές. Το μοντέλο μας περιλαμβάνει μια ρύθμιση παραμέτρων που ικανοποιεί αυτό το κριτήριο δυσμενούς επιλογής, αν και το μοντέλο μας λειτουργεί επίσης όταν δεν ισχύει.
Στη συνέχεια ενσωματώνουμε τέσσερα χαρακτηριστικά του μοντέλου: (i) τετραγωνική ποινή τερματικού, (ii) εμπορικός διευθυντής, (iii) περιοριστής ταχύτητας συναλλαγών και (iv) ποινή προγραμματισμού. Η πρώτη ποινή προστίθεται, ώστε η διαπραγμάτευση να ωθήσει τη θέση προς τη ρευστοποίηση. Για να το πετύχουμε αυτό, προσθέτουμε μια τετραγωνική ποινή έτσι ώστε η ατελής εκκαθάριση να είναι ανεπιθύμητη. Η δεύτερη ποινή εισάγεται για να τιμωρήσει την ταυτόχρονη τοποθέτηση εντολών αγοράς και εντολών από πλευράς πώλησης (ή αντίστροφα). Με μια τέτοια τοποθέτηση παραγγελίας, θα ήταν σαν ο έμπορος να αγόραζε/πουλούσε το απόθεμα μεταξύ του/της. Αυτή η ποινή ονομάζεται διευθυντής εμπορίου. Ο στόχος είναι να ενθαρρύνουμε τις παραγγελίες να έχουν το ίδιο πρόσημο. Σε συνδυασμό με την ποινή της μη εκκαθάρισης, περιμένουμε ότι μόνο η επιλογή v
Προσθέτουμε επίσης α περιοριστής ταχύτητας για να αποτρέψετε τον έμπορο να συναλλάσσεται πολύ γρήγορα με οποιονδήποτε τύπο παραγγελίας. Με άλλα λόγια, επιτρέπουμε στη διοίκηση να ορίσει δύο ανώτατα όρια ταχύτητας συναλλαγών (άνω και κάτω όρια) για εντολές αγοράς και οριακές εντολές.
Για την τελική ποινή, ας υποθέσουμε ότι δίνεται στον έμπορο μια χρονικά ντετερμινιστική συνάρτηση χρονοδιαγράμματος, Q
Ο στόχος του εμπόρου είναι να μεγιστοποιήσει τις προσδοκίες των αποζημιωθέντων P&L επιλέγοντας τιμές συναλλαγών για εντολές αγοράς και οριακές εντολές. Αυτό ισοδυναμεί με την επίλυση ενός προβλήματος περιορισμένου στοχαστικού ελέγχου. Αυτό μας οδηγεί να μελετήσουμε το σχετικό πρόβλημα της μερικής διαφορικής εξίσωσης HJB (PDE). Μια αναλυτική λύση στο πρόβλημα του στοχαστικού ελέγχου προκύπτει στην εργασία.
Αριθμητικά Παραδείγματα
Όπως φαίνεται στο Σχ. 1, η θέση του εμπόρου παρακολουθεί επίμονα το χρονοδιάγραμμα στον ορίζοντα συναλλαγών, δεδομένης μιας μικρής ποινής για απόκλιση. Σε σύγκριση με το γραμμικό χρονοδιάγραμμα, το τετραγωνικό χρονοδιάγραμμα είναι χρήσιμο για ένα ίδρυμα που επιδιώκει να ξεκινήσει τις συναλλαγές αργά και τελικά να επιταχύνει στο τέλος του προγράμματος πώλησης. Βλέπουμε ότι το μοντέλο μας είναι σε θέση να χειρίζεται πολύπλοκα μη γραμμικά χρονοδιαγράμματα για τις διακρατήσεις μετοχών με την πάροδο του χρόνου.
Εξετάζουμε τις επιπτώσεις στα επιτόκια συναλλαγών στο επόμενο σχήμα. Στο αριστερό πάνελ δεν υπάρχει ποινή για παρέκκλιση από το γραμμικό πρόγραμμα, ενώ στο δεξί δίνουμε μια μικρή ποινή για απόκλιση. Διαπιστώνουμε ότι ο τιμωρούμενος κατανεμητής συναλλάσσεται πολύ πιο γρήγορα και αντιδρά πιο γρήγορα στις κινήσεις των τιμών. Πράγματι, τα μη τιμωρούμενα επιτόκια διαπραγμάτευσης είναι πολύ σταθερά μέχρι το τέλος του προγράμματος πώλησης και οι τιμωρούμενες τιμές συναλλαγών αλλάζουν γρήγορα με την πάροδο του χρόνου. Αντίθετα, το συνολικό επιτόκιο συναλλαγών στη μη τιμωρημένη περίπτωση (δεξιό πλαίσιο) κυμαίνεται σε σχετικά μικρό εύρος. Στην περίπτωση κυρώσεων, χρησιμοποιούνται περισσότερες παραγγελίες αγοράς με την πάροδο του χρόνου, αλλά το αντίθετο ισχύει όταν αφαιρείται η ποινή.
Με την ενσωμάτωση μιας σειράς νέων χαρακτηριστικών, το μοντέλο τοποθέτησης παραγγελιών μας επιτρέπει τον καλύτερο έλεγχο του προβλήματος των συναλλαγών. Για παράδειγμα, ο περιοριστής συναλλαγών και ο διευθυντής ρυθμίζουν την ταχύτητα και την κατεύθυνση των συναλλαγών. Επιπλέον, οι πολλαπλές ποινές οδηγούν σε μια σειρά από συμβιβασμούς. Μεταξύ αυτών, διαπιστώνουμε ότι ο διευθυντής εμπορίου δεν μπορεί να είναι πολύ δυνατός ή πολύ αδύναμος εκτός εάν οι περιοριστές ταχύτητας είναι αρκετά αυστηροί.
Η βιβλιογραφία για τη βέλτιστη εκτέλεση συνεχίζει να αυξάνεται σε όγκο και ποικιλομορφία. Μια κατεύθυνση για μελλοντική έρευνα όσον αφορά το πρόβλημα τοποθέτησης παραγγελιών είναι να επεκτείνουμε την πλατφόρμα συναλλαγών ώστε να περιλαμβάνει πολλαπλές ανταλλαγές για την κατανομή των παραγγελιών. Αυτές οι ανταλλαγές έχουν ποικίλο κόστος πλήρωσης παραγγελιών και κινδύνους που συνδέονται με αυτές. Αυτό δημιουργεί πρόβλημα κατανομής χώρων. Ένα άλλο σχετικό πρόβλημα είναι το εμπόριο σε φωτισμένες και σκοτεινές πισίνες. Ενώ σε μια αναμμένη πισίνα (ή ανταλλαγή) μπορεί να παρατηρηθεί η ανισορροπία του βιβλίου παραγγελιών, μια σκοτεινή πισίνα τυφλώνει τον έμπορο από τέτοιες πληροφορίες. Αυτό υποδηλώνει μια ισχυρή προσέγγιση βελτιστοποίησης ή αβεβαιότητας μοντέλου για τη βέλτιστη εκτέλεση που δεν είχε εξεταστεί προηγουμένως. Επιπλέον, το πρόβλημα της βέλτιστης ρευστοποίησης ισχύει όχι μόνο για μετοχές, αλλά και για δικαιώματα προαίρεσης και άλλα παράγωγα.
βιβλιογραφικές αναφορές
B. Bulthuis, J. Concha, T. Leung και B. Ward, Βέλτιστη εκτέλεση παραγγελιών ορίου και αγοράς με Trade Director, Speed Limiter και Fill Uncertainty [pdf], International Journal of Financial Engineering, Vol. 4, τεύχος 2, σελ.1750020, 2017
Fast & Precautious: Έλεγχοι παραγγελιών για την εκτέλεση συναλλαγών, Περιοδικό RISK, Τεύχος Απριλίου [pdf] 2017
„Νέα άλγος εκτέλεσης δείχνουν ότι η πολυπλοκότητα δεν πρέπει να φοβόμαστε“ Περιοδικό RISK
