Κωδικοποίηση Market View μέσω τυχαιοποιημένης γέφυρας Brownian

Του Tim Leung, Ph.D.

Οι αποφάσεις συναλλαγών συχνά εξαρτώνται από την υποκειμενική πεποίθηση του εμπόρου για τη διανομή της τιμής του ενεργητικού σε μια δεδομένη μελλοντική ημερομηνία. Για παράδειγμα, εάν ένας έμπορος αναμένει μια μεγάλη μεταβολή της τιμής για μια μετοχή της εταιρείας μετά την ανακοίνωση των κερδών της, τότε ίσως μια θέση long straddle έχει νόημα. Υπάρχουν πολλές τέτοιες περιπτώσεις. Και όσο προχωρά ο χρόνος, ο έμπορος θα μαθαίνει περισσότερα για την κατανομή των τιμών παρατηρώντας τις διακυμάνσεις των τιμών.

Μαθηματικά, η άποψη της αγοράς του εμπόρου μπορεί να περιγραφεί με μια προηγούμενη διανομή της τιμής του ενεργητικού σε κάποια μελλοντική ημερομηνία. Η διαδικασία της τιμής αποκαλύπτεται με την πάροδο του χρόνου, αλλά υπάρχει επίσης μη πληροφοριακός θόρυβος ενσωματωμένος στη δυναμική των τιμών των περιουσιακών στοιχείων. Αυτό οδηγεί στο ερώτημα: πώς να οικοδομήσουμε ένα στοχαστικό μοντέλο που αντικατοπτρίζει κατάλληλα την άποψη της αγοράς του εμπόρου δυναμικά με την πάροδο του χρόνου;

Μια τυχαιοποιημένη γέφυρα Brownian είναι ο τέλειος υποψήφιος για αυτό. Στο πρόσφατο μας χαρτί, παρουσιάζουμε ένα μοντέλο τυχαιοποιημένης γέφυρας Brown (rBb), όπου η log-τιμή του περιουσιακού στοιχείου ακολουθεί μια γέφυρα Brown με ένα τυχαιοποιημένο τελικό σημείο που αντιπροσωπεύει την τυχαία τελική log-τιμή. Η πεποίθηση του εμπόρου περιγράφεται από μια τυχαία μεταβλητή πραγματικής αξίας ρε να πραγματοποιηθεί κάποια στιγμή στο μέλλον Τ έτσι ώστε η τελική log-τιμή του περιουσιακού στοιχείου να δίνεται από

Με τη σειρά της, η διαδικασία log-price δέχεται την ακόλουθη μορφή

που

είναι μια τυπική γέφυρα Brownian. Η εκτίμηση της log-price ανακτά τη διαδικασία της υποκείμενης τιμής περιουσιακού στοιχείου.

Για να χρησιμοποιήσει το μοντέλο μας, ο έμπορος θα καθόριζε μια διανομή για την τιμή της μετοχής σε κάποια μελλοντική στιγμή (π.χ. τέλος του μήνα, ημερομηνία λήξης του δικαιώματος, ημερομηνία ανακοίνωσης κερδών). Σε αντίθεση με όλα σχεδόν τα υπάρχοντα μοντέλα, ο έμπορος εδώ έχει απόλυτη ελευθερία να επιλέξει οποιαδήποτε μελλοντική οριακή διανομή όπως επιθυμεί. Μπορεί να είναι τόσο απλή όσο μια διακριτή κατανομή δύο σημείων, η κανονική κατανομή ή άλλες πιο περίπλοκες κατανομές.

Προσομοίωση διαδρομής μιας τυχαιοποιημένης γέφυρας Brown, που αντιπροσωπεύει την log-τιμή της μετοχής, με την προηγούμενη πεποίθηση για την τελική log-τιμή μετά από (α) διακριτή κατανομή δύο σημείων και (β) κανονική κατανομή. Σημειώστε πώς οι διαδρομές τείνουν να συγκλίνουν για να ταιριάζουν με την προκαθορισμένη κατανομή. Πηγή: Leung et al (2018) (βλ. Παραπομπή παρακάτω).

Μέσω μιας Μπεϋζιανής προσέγγισης με κάποιο στοχαστικό λογισμό, η προηγούμενη πεποίθηση και ο μηχανισμός μάθησης του εμπόρου μπορούν να κωδικοποιηθούν στη μετατόπιση της διαδικασίας λογαριασμών-τιμής. Κάποιος μπορεί επίσης να υπολογίσει τα στατιστικά στοιχεία που σχετίζονται με τη διαδικασία της τιμής.

Στην ίδια εργασία, εισάγουμε μια βέλτιστη προσέγγιση διακοπής του προβλήματος ρευστοποίησης του εμπόρου, η οποία ισχύει όχι μόνο για την πώληση του υποκείμενου περιουσιακού στοιχείου, αλλά και για επιλογές που είναι γραμμένες σε αυτό. Για να λύσουμε το βέλτιστο πρόβλημα διακοπής του εμπόρου, επινοούμε και εφαρμόζουμε μια σειρά από αναλυτικά εργαλεία.

Εισάγουμε το βέλτιστο ασφάλιστρο ρευστοποίησης που αντιπροσωπεύει την πρόσθετη αξία από τη βέλτιστη αναμονή για πώληση, σε αντίθεση με την άμεση εκκαθάριση. Πράγματι, μόλις εξαφανιστεί αυτό το ασφάλιστρο, είναι βέλτιστο για τον έμπορο να πουλήσει. Από την άλλη πλευρά, εάν αυτό το ασφάλιστρο είναι πάντα αυστηρά θετικό, τότε ο έμπορος θεωρεί ότι είναι βέλτιστο να περιμένει μέχρι τη λήξη. Ως εκ τούτου, το βέλτιστο ασφάλιστρο ρευστοποίησης παρέχει όχι μόνο νέες οικονομικές ερμηνείες, αλλά και άλλη μια οδό αναλυτικής διερεύνησης του βέλτιστου προβλήματος διακοπής. Οι βέλτιστες στρατηγικές συναλλαγών επιλύονται αριθμητικά και συγκρίνονται με διαφορετικές προηγούμενες πεποιθήσεις.