Χαρτοφυλάκια με περιορισμούς καρδιναλότητας: Προσέγγιση & Αλγόριθμος Βελτιστοποίησης

Του Tim Leung, Ph.D.

Κάθε χαρτοφυλάκιο μπορεί να χωριστεί σε πολλές ομάδες περιουσιακών στοιχείων που ορίζονται από κατηγορίες περιουσιακών στοιχείων, τομείς, στυλ ή άλλα χαρακτηριστικά. ΕΝΑ καρδιναλιότητα-περιορισμένη χαρτοφυλάκιο ανώτατα όρια του αριθμού των μετοχών προς διαπραγμάτευση σε καθεμία από αυτές τις ομάδες. Αυτοί οι περιορισμοί προκύπτουν από σενάρια πραγματικού κόσμου που αντιμετωπίζουν οι διαχειριστές κεφαλαίων που επιδιώκουν να ικανοποιήσουν ορισμένες επενδυτικές εντολές ή να επιτύχουν τους στόχους κατανομής περιουσιακών στοιχείων τους.

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι θέλετε να δημιουργήσετε ένα χαρτοφυλάκιο επενδύοντας σε μετοχές Μ τομείς που προτιμάτε. Και, σε κάθε τομέα, επιλέγετε μέχρι κ αποθέματα και κάθε τομέας δεν θα πρέπει να αποτελούν περισσότερα από q% του χαρτοφυλακίου σας. Επιπλέον, δεν ξέρετε ποιες και πόσες μετοχές πρέπει να συμπεριληφθούν ακόμα. Θα χρειαστεί επίσης να προσδιορίσετε τους συντελεστές στάθμισης του χαρτοφυλακίου με βάση την αντιστάθμιση κινδύνου-απόδοσης. Τώρα, φανταστείτε ότι μπορείτε να τα κάνετε όλα αυτόματα εκτελώντας έναν αλγόριθμο.

Σε αυτό χαρτί, αναπτύσσουμε μια νέα προσέγγιση για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης χαρτοφυλακίου περιορισμένης ταυτότητας με διαφορετικούς περιορισμούς και στόχους. Ειδικότερα, η προσέγγισή μας επεκτείνει τόσο τα μοντέλα βελτιστοποίησης Markowitz όσο και υπό όρους αξίας σε κίνδυνο (CVaR) με περιορισμούς καρδιναικότητας. Προτείνεται μια μέθοδος συνεχούς χαλάρωσης για τον στόχο NP-hard, η οποία επιτρέπει πολύ αποτελεσματικούς αλγόριθμους με τυπικές εγγυήσεις σύγκλισης για μη κυρτά προβλήματα.

Για μικρότερες περιπτώσεις, όπου η αναζήτηση ωμής βίας είναι εφικτή για τον υπολογισμό του παγκόσμιου βέλτιστου χαρτοφυλακίου περιορισμένης καρδιναικότητας, η νέα προσέγγιση βρίσκει το καλύτερο χαρτοφυλάκιο για το μοντέλο Markowitz με περιορισμό καρδιναικότητας και ένα πολύ καλό τοπικό ελάχιστο για το μοντέλο CVaR με περιορισμό καρδιναικότητας.

Καθώς ο συνολικός αριθμός των περιουσιακών στοιχείων αυξάνεται, η εξαντλητική αναζήτηση με ωμή βία γίνεται γρήγορα απαγορευτικά δαπανηρή. Για παράδειγμα, η επιλογή 10 στοιχείων από τα 30 απαιτεί την επίλυση περισσότερων από 30 εκατομμυρίων προβλημάτων βελτιστοποίησης στα υποσύνολα, επομένως ακόμη και μια φαινομενικά απλή περίπτωση μπορεί να είναι εντελώς μη διαχειρίσιμη. Ο αλγόριθμός μας μπορεί να λύσει προβλήματα αυτής της κλίμακας κατά μέσο όρο 20 εκτελέσεων. Βρίσκουμε εφικτά χαρτοφυλάκια που είναι σχεδόν εξίσου αποτελεσματικά με τα αντίστοιχά τους χωρίς περιορισμό καρδιναικότητας.

Μας δίνονται συνολικά n υποψήφια στοιχεία και ένα συγκεκριμένο κριτήριο επιλογής f(w). Τα βάρη χαρτοφυλακίου ικανοποιούν τον περιορισμό του simplex:

Οι συνδυαστικοί περιορισμοί περιορίζουν τον αριθμό των μετοχών προς αγορά, εντός καθορισμένων υποομάδων ή/και σε ολόκληρο το χαρτοφυλάκιο. Τα βάρη χαρτοφυλακίου σε κάθε ομάδα αντιπροσωπεύονται από το διάνυσμα wᵢ.

Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορούν να συμπεριληφθούν περισσότερες από kᵢ μετοχές σε κάθε ομάδα i . Και το άθροισμα των βαρών χαρτοφυλακίου σε κάθε ομάδα i οριοθετείται μεταξύ pᵢ και qᵢ.

Το πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης έχει τη μορφή:

Για παράδειγμα, για χαρτοφυλάκιο μέσης διακύμανσης, έχουμε

Και το υπό όρους μοντέλο αξίας σε κίνδυνο (CVaR) ελαχιστοποιεί το υπερτεταρτημόριο CVaR έναντι των επιλογών χαρτοφυλακίου:

όπου το τεταρτημόριο β σχετίζεται με την τιμή CVaR α κατά

Για να λύσουμε το πρόβλημα, χαλαρώνουμε πρώτα το πρόβλημα εισάγοντας μια βοηθητική μεταβλητή v την οποία αναγκάζουμε να είναι κοντά στο w χρησιμοποιώντας έναν τετραγωνικό όρο ποινής. Το πρόβλημα βελτιστοποίησης γίνεται

Με τη σειρά μας, εφαρμόζουμε μια εξελιγμένη μέθοδο προβολής και χρησιμοποιούμε εγγύς εναλλασσόμενη γραμμική ελαχιστοποίηση (ΠΑΛΑΜΗ) με εναλλασσόμενες ενημερώσεις στα w και v. Το PALM συγκλίνει σε ακίνητα σημεία ακόμη και στη μη κυρτή ρύθμιση.

Αυτό που ξεχωρίζει την προσέγγισή μας είναι αυτό

(i) διατυπώνουμε το πρόβλημα ως πρόβλημα συνεχούς βελτιστοποίησης σε ένα εξαιρετικά μη κυρτό σύνολο που προκαλείται από την τομή Καρδιοτητα και απλός περιορισμούς.

(ii) αναπτύσσουμε μια μέθοδο χαλάρωσης χρησιμοποιώντας βοηθητικές μεταβλητές και δημιουργούμε έναν αποτελεσματικό χάρτη προβολής στο μη κυρτό σύνολο.

Αυτές οι καινοτομίες επιτρέπουν σε τεχνικές που αναπτύχθηκαν πρόσφατα για δομημένη μη ομαλή μη κυρτή βελτιστοποίηση να ανταποκρίνονται στο πρόβλημα. Η ενσωμάτωση των περιορισμών καρδιναικότητας μας επιτρέπει να ποσοτικοποιήσουμε και να απεικονίσουμε τον αντίκτυπό τους στον κίνδυνο και την απόδοση. Μεταξύ άλλων επιπτώσεων, καθώς επιτρέπεται να συμπεριληφθούν λιγότεροι τομείς και μετοχές, το χαρτοφυλάκιο γίνεται λιγότερο διαφοροποιημένο, μετατοπίζοντας τα σύνορα της αποτελεσματικότητας προς τα κάτω.